ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | | NCTB BOOK

সুত্র ৫। $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

প্রমাণ : $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + (a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3})$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a b (a + b) + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৭। $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

সুত্র ৬। $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

প্রমাণ : $(a - b)^{3} = (a - b) (a - b)^{2}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - b (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৮। $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

উদাহরণ ১৬। $3 x + 2 y$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(3 x + 2 y)^{3} = (3 x)^{3} + 3 \times (3 x)^{2} \times (2 y) + 3 (3 x) \times (2 y)^{2} + (2 y)^{3}$

$= 27 x^{3} + 3 \times 9 x^{2} \times 2 y + 3 + 3 x \times 4 y^{2} + 8 y^{3}$

$= 27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 8 y^{3}$

উদাহরণ ১৭। $2 a + 5 b$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(a + 5 b)^{3} = (2 a)^{3} + 3 \times (2 a)^{2} \times (5 b) + 3 (2 a) \times (5 b)^{2} + (5 b) ³$

$= 8 a^{3} + 3 \times 4 a^{2} \times 5 b + 3 \times 2 a \times 25 b^{2} + 125 b^{3}$

$= 8 a^{3} + 60 a^{2} b + 150 a b^{2} + 125 b^{3}$

উদাহরণ ১৮। $1 m - 2 n$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(m 2)}^{3} = (m) ³ - 3 \times (m) ² \times (2 n) + 3 \times m \times (2 n) ² - (2 n) ³$

$= m^{3} - 3 m^{2} \times 2 n + 3 m \times 4 n^{2} - 8 n^{3}$

$= m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} - 8 n^{3}$

উদাহরণ ১৯। $4 x - 5 y$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(4 x - 5 y)^{3} = (4 x)^{3} - 3 \times (4 x)^{2} \times (5 y) + 3 (4 x) \times (5 y)^{2} - (5 y)^{3}$

$= 64 x^{3} - 3 \times 16 x^{2} \times 5 y + 3 \times 4 x \times 25 y^{2} - 125 y^{3}$

$= 64 x^{3} - 240 x^{2} y + 300 x y^{2} - 125 y^{3}$

উদাহরণ ২০। $x + y - z$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(x + y - z)^{3} = {(x + y) - z}^{3}$

$= (x + y)^{3} - 3 (x + y)^{2} z + 3 (x + y) z^{2} - z^{3}$

$= (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}) - 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) \times z + 3 (x + y) \times z^{2} - z^{2}$

$= x ² + 3 x ² y + 3 x y ² + y ³ - 3 x ² z - 6 x y z - 3 y ² z + 3 x z ² + 3 y z ² - z ³$

$= x ³ + y ³ - z ³ + 3 x ² y + 3 x y ² - 3 x ² z - 3 y ² z + 3 x z ² + 3 y z ² - 6 x y z$

কাজ : সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর :

১। $a b + b c$ ২। $2 x - 5 y$ ৩। $2 x - 3 y - z$

উদাহরণ ২১। সরল কর : $(4 m + 2 n) ³ + 3 (4 m + 2 n) ² (m - 2 n) + 3 (4 m + 2 n) (m - 2 n) ² + (m - 2 n) ³$

সমাধান : ধরি, $4 m + 2 n = a$ এবং $m - 2 n = b$

$∴$ প্রদত্ত রাশি $= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= {(a + b)}^{3}$

$= {(4 m + 2 n) + (m - 2 n)}^{3}$

$= {(4 m + 2 n + m - 2 n)}^{3}$

$= {(5 m)}^{3} = 125 m^{3}$

উদাহরণ ২২। সরল কর : ${(4 a - 8 b)}^{3} - {(3 a - 9 b)}^{3} — 3 (a + b) (4 a - 8 b) (3 a - 9 b)$

সমাধান : ধরি, $4 a - 8 b = x$ এবং $3 a - 9 b = y$

$∴$ $x - y = (4 a - 8 b) - (3 a - 9 b) = 4 a - 8 b - 3 a + 9 b = a + b$

এখন প্রদত্ত রাশি $= x - y^{3} - 3 (x - y) \times x \times y$

$= x^{3} - y^{3} - 3 x y (x - y)$

$= {(x - y)}^{3}$

$= {(a + b)}^{3}$

উদাহরণ ২৩। $a + b = 3$ এবং $a b = 2$ হলে, $a^{3} + b^{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

$= {(3)}^{3} - 3 \times 2 \times 3$

$= 27 - 18$

$= 9$

বিকল্প সমাধান : দেওয়া আছে, $a + b + c$ এবং $a b = 2$

এখন, $a + b + c$

বা, $(a + b)^{3} = (3)^{3}$

বা, $a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = 27$

বা, $a^{3} + b^{3} + 3 \times 2 \times 3 = 27$

বা, $a^{3} + b^{3} + 18 = 27$

বা, $a^{3} + b^{3} = 27 - 18$

$∴$ $a^{3} + b^{3} = 9$

উদাহরণ ২৪। $x - y = 10$ এবং $x y = 30$ হলে, $x^{3} - y^{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3 x y (x - y)$

$= (10)^{3} + 3 \times 30 \times 10$

$= 1000 + 900$

$= 1900$

উদাহরণ ২৫। $x + y = 4$ হলে $x^{3} + y^{3} + 12 x y$ এর মান কত?

সমাধান : $x^{3} + y^{3} + 12 x y = x^{3} + y^{3} + 3 \times 4 \times x y$

$= x^{3} + y^{3} + 3 (x + y) \times x y$

$= x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)$

$= (x + y)^{3}$

$= (4)^{3}$

$= 64 .$

উদাহরণ ২৬। $a + \frac{1}{a} = 7$ হলে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = a^{3} + {(\frac{1}{a})}^{3}$

$= {(a + \frac{1}{a})}^{3} - 3 \times a \times \frac{1}{a} (a + \frac{1}{a})$

$= {(7)}^{3} - 3 \times 7$

$= 343 - 21$

$= 322$

উদাহরণ ২৭। $m = 2$ হলে, $27 m^{3} + 54 m^{2} + 36 m + 3$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত রাশি $= 27 m^{3} + 54 m^{2} + 36 m + 3$

$= (3 m)^{3} + 3 \times (3 m)^{2} \times 2 + 3 \times (3 m) \times (2)^{2} + (2)^{3} - 5$

$= (3 m + 2)^{3} - 5$

$= (3 \times 2 + 2)^{3} - 5$ [m এর মান বসিয়ে]

$= (6 + 2)^{3} - 5 = 8^{3} - 5$

কাজ : ১। সরল কর : $(7 x - 6)^{3} - (5 x - 6)^{3} - 6 x (7 x - 6) (5 x - 6)$

২। $a + b = 10$ এবং $a b = 21$ হলে, $a^{3} + b^{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

৩। $a + \frac{1}{a} = 3$ হলে, দেখাও যে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18$

Content added || updated By

Rezwan Siddiki Tamim

ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত

ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion